问题
解答题
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是
（1）判断函数g（x）=-x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]； （2）若函数h(x)=
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答案
（1）函数g（x）=-x3的定义域为 R，g′（x）=-3x2≤0 （仅在x=0时取等号），
故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．
若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，
，即 g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b
，解得 -a3= b 2 -b3= a 2 a＜b
，故满足条件②的闭区间为[-a=- 2 2 b= 2 2
，2 2
]．2 2
由此可得，g（x）属于集合M．
（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′(x)=
＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）1 2 x-1
若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=
，h(b)=a 2
，即a-2b 2
-2t=0，且b-2a-1
-2t=0，…（12分）b-1
令
=y(x≥1)，则y≥0，x-1
于是关于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）
记u（y）=y2-2y+1-2t，∴
，∴t∈(0，△＞0 u(0)≥0.
]．…（16分）1 2