∵直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3

∴圆心（0.0）到直线的距离d=

|1-2k|

2

≤

k2+2k-3

解得

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

又∵圆x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0

解得，k＜-3，或k＞1

∴k的取值范围为

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

∵（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，

∴x₀+y₀=2k-1，①x₀²+y₀²=k²+2k-3②

①²-②，得，2x₀y₀=3k²-6k+4

当

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

时，2x₀y₀=3k²-6k+4是k的增函数

∴当k=

4- 2

2

，x₀y₀有最小值为

11-6 2

4

当k=

4+ 2

2

，x₀y₀有最大值为

11+6 2

4

∴x₀y₀的取值范围为[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]

故答案为：[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]