问题 解答题
设函数f(x)=a-
2
2x+1

(1)求证:f(x)是增函数;
(2)求a的值,使f(x)为奇函数;
(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.
答案

(1)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2

f(x1)-f(x2)=a-

2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
(2分)

∵y=2x在(-∞,+∞)上递增,而x1<x22x12x22x1-2x2<0(4分)

又(2x1+1)(2x2+1)>0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2

∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数(6分)

(2)f(x)为奇函数,f(0)=a-

2
20+1
=a-1=0∴a=1

经检验,a=1时f(x)是奇函数(10分)

(3)由(2)知,f(x)=1-

2
2x+1

∵2x+1>1∴0<

1
2x+1
<1∴f(x)∈(-1,1)(14分)

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