问题
解答题
已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d．当d取得最大时对应P的坐标（m，n），设g（x）=mx+
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程：mx+
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答案
（1）由题意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴g(x)=mx+
-2lnx=x-n x
-2lnx1 x
∴g′(x)=1+
-1 x2
=2 x
=x2-2x+1 x2
≥0，(x-1)2 x2
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程mx+
-g(x)=2x3-4ex2+tx；n x
∴2lnx=2x3-4ex2+tx
∵x＞0，∴方程为
=2x2-4ex+t2lnx x
令L(x)=
，H（x）=2x2-4ex+t，2lnx x
∵L′(x)=2
，当x∈（0，e）时，L′（x）≥0，1-lnx x2
∴L′（x）在（0，e]上为增函数；x∈[e，+∞）时，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上为减函数，
当x=e时，L(x)max=L(e)=2 e
H（x）=2x2-4ex+t=2（x-e）2+t-2e2，
∴可以分析①当t-2e2＞
，即t＞2e2+2 e
时，方程无解．2 e
②当t-2e2=
，即t=2e2+2 e
时，方程有一个根．2 e
③当t-2e2＜
，即t＜2e2+2 e
时，方程有两个根．2 e
