问题 解答题

设集合M={l|直线l与直线y=2x相交,且以交点的横坐标为斜率}

(1)点(-2,2)到M中哪条直线的距离最小?

(2)设a∈R+,点P(-2,a)到M中的直线距离的最小值记为dmin,求dmin的解析式.

答案

(1)设直线l与直线y=2x相交于E(t,2t).

则直线l的方程为:y-2t=t(x-t),化为tx-y+2t-t2=0.

点F(-2,2)到直线y=2x的距离d1=

|-2×2-2|
5
=
6
5
5

点F(-2,2)到直线l的距离d2=

|-2t-2+2t-t2|
t2+1
=
t2+2
t2+1
=
t2+1
+
1
t2+1
≥2,当且仅当t=0时取等号.

t2+1
+
1
t2+1
=
6
5
=
5
+
1
5
,可得
t2+1
=
5
,解得t=±2.

∴当t=±2时,d1=d2

当t2>4即t>2或t<-2时,d2>d1

当t2<4即-2<t<2时,d2<d1

(2)a∈R+,点P(-2,a)到M中的直线距离d=

|-2t-a+2t-t2|
t2+1
=
t2+a
t2+1

t2+1
=m≥1,则t2=m2-1.

d=

m2-1+a
m
=m+
a-1
m
(m≥1).

d=1-

a-1
m2
=
m2-(a-1)
m2

①当a-1≤0即0<a≤1时,d′>0,d在m≥1单调递增,当m=1时,d取得最小值,dmin=1+a-1=a.

②当a-1>0时,令d′=0,解得m=

a-1

当m

a-1
时,d′>0,函数d单调递增;当1≤m
a-1
时,d′>0,函数d单调递减.

∴当m=

a-1
时,d取得最小值,dmin=
a-1
+
a-1
a-1
=2
a-1

综上可知:dmin=

a,当m=1时
2
a-1
,当m=
a-1

选择题
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