设集合M={l|直线l与直线y=2x相交,且以交点的横坐标为斜率}
(1)点(-2,2)到M中哪条直线的距离最小?
(2)设a∈R+,点P(-2,a)到M中的直线距离的最小值记为dmin,求dmin的解析式.
(1)设直线l与直线y=2x相交于E(t,2t).
则直线l的方程为:y-2t=t(x-t),化为tx-y+2t-t2=0.
点F(-2,2)到直线y=2x的距离d1==.
点F(-2,2)到直线l的距离d2===+≥2,当且仅当t=0时取等号.
由+==+,可得=,解得t=±2.
∴当t=±2时,d1=d2.
当t2>4即t>2或t<-2时,d2>d1.
当t2<4即-2<t<2时,d2<d1.
(2)a∈R+,点P(-2,a)到M中的直线距离d==,
令=m≥1,则t2=m2-1.
∴d==m+(m≥1).
d′=1-=.
①当a-1≤0即0<a≤1时,d′>0,d在m≥1单调递增,当m=1时,d取得最小值,dmin=1+a-1=a.
②当a-1>0时,令d′=0,解得m=.
当m>时,d′>0,函数d单调递增;当1≤m<时,d′>0,函数d单调递减.
∴当m=时,d取得最小值,dmin=+=2.
综上可知:dmin=.