（1）根据运动过程中动量守恒得：

mv₀=（M+m）v₁

解得：v1=

m

M+m

v0=0.5m/s

（2）根据动量定理得：

μmgt=Mv₁-0

t1=

Mv0

(M+m)μg

=0.75s

（3）若M＞m，从第一次木板以v₁反弹开始，有

Mv₁-mv₁=（M+m）v₂

Mv₂-mv₂=（M+m）v₃…

Mv_n-1-mv_n-1=（M+m）v_n

解得：

v2=

M-m

M+m

v1

v3=

M-m

M+m

v2

…

vn=

M-m

M+m

vn-1=(

M-m

M+m

)n-1

m

M+m

v0

根据动能定理得：

μmgx1=

1

2

mv02-

1

2

(M+m)v12

μmgx2=

1

2

mv12-

1

2

(M+m)v22

…

μmgxn=

1

2

mvn2-

1

2

(M+m)vn-12

解得：

x1=

M

2μg(M+m)

v02

x2=

2M

μg(M+m)

v12

x3=

2M

μg(M+m)

v22=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2v12

xn=

2M

μg(M+m)

vn-12=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2(n-2)v12

x₂，x₃，x₄，…x_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v

21

公比为(

M-m

M+m

)2 的等比数列，共有n-1项

Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

M-m

M+m

)2(n-2)

=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

•(

m

M+m

)2

v

20

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]

在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）

-μmgt₂=Mv₂-Mv₁

-μmgt₃=Mv₃-Mv₂…

-μmgt_n=Mv_n-Mv_n-1

t2=

2M

μg(M+m)

v1

t3=

2M

μg(M+m)

v2=

2M

μg(M+m)

 •

M-m

M+m

v1

tn=

2M

μg(M+m)

vn-1=tn=

2M

μg(M+m)

 •(

M-m

M+m

)n-2v1

t₂，t₃，t₄，…t_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v1 公比为 (

M-m

M+m

) 的等比数列，共有n-1项

tn=t1+

2M

μg(M+m)

v1

n

n=2

(

M-m

M+m

)n-2=t1+

2M

μg(M+m)

v1•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

v1•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

•

m

M+m

v0•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

μg(M+m)

•[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]

同理可得：若M＜m，

x₂，x₃，x₄，…x_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v

21

公比为(

m-M

m+M

)2 的等比数列，

共有n-1项

Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)

=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

•(

m

M+m

)2

v

20

•

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]

在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）

-μmgt₂=mv₂-mv₁

-μmgt₃=mv₃-mv₂

…

-μmgt_n=mv_n-mv_n-1

t2=

2m

μg(m+M)

 v₁

t2=

2m

μg(m+M)

 v2=

2m

μg(m+M)

 •

m-M

m+M

v₁

所以tn=

2m

μg(m+M)

 vn-1=

2m

μg(m+M)

 •(

m-M

m+M

)n-2v₁

t₂，t₃，t₄，…t_n是一个首项为

2m

μg(m+M)

v1，公比为 (

m-M

m+M

) 的等比数列，共有n-1项

tn=t1+

2m

μg(m+M)

v1

n

n=2

(

m-M

m+M

)n-2=t1+

2m

μg(m+M)

v1•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

v1•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

•

m

M+m

v0•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

•[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]．

答：（1）木块与小车共同运动的速度的大小为0.5m/s；

（2）木块在小车上相对滑行的时间为0.75s；

（3）从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间为

Mv0

μg(M+m)

•[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]或

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

•[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]，木块在小车上滑行的路程为

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]或

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]．