问题 问答题

一个竖直放置的光滑圆环,半径为分别是其水平直径和竖直直径的端点.圆环与一个光滑斜轨相接,如图4所示.一个小球从与点高度相等的点从斜轨上无初速下滑.试求:

小题1:过点时,对轨道的压力多大?

小题2:小球能否过点,如能,在点对轨道压力多大?如不能,小球于何处离开圆环?

答案

小题1:

小题2:

故小球经过圆环最低点时,对环的压力为.小球到达高度为点开始脱离圆环,做斜上抛运动.

小题1:小球在运动的全过程中,始终只受重力和轨道的弹力.其中,是恒力,而是大小和方向都可以变化的变力.但是,不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动,每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直.因此,小球在运动的全过程中弹力不做功,只有重力做功,小球机械能守恒.

从小球到达圆环最低点开始,小球就做竖直平面圆周运动.小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心点,此向心力由小球的重力与弹力提供.

(1)因为小球从机械能守恒,所以

     ①

          ②

    ③

解①②③得 

小题2:小球如能沿圆环内壁滑动到点,表明小球在点仍在做圆周运动,则,可见,是恒量,随着的减小减小;当已经减小到零(表示小球刚能到达)点,但球与环顶已是接触而无挤压,处于“若即若离”状态)时,小球的速度是能过点的最小速度.如小球速度低于这个速度就不可能沿圆环到达点.这就表明小球如能到达点,其机械能至少应是,但是小球在点出发的机械能仅有因此小球不可能到达点.

又由于

因此,>0,小球从点时仍有沿切线向上的速度,所以小球一定是在之间的某点离开圆环的.设半径与竖直方向夹角,则由图可见,小球高度

           ④

根据机械能守恒定律,小球到达点的速度应符合:

             ⑤

小球从点开始脱离圆环,所以圆环对小球已无弹力,仅由重力沿半径方向的分力提供向心力,即

           ⑥

解④⑤⑥得 

故小球经过圆环最低点时,对环的压力为.小球到达高度为点开始脱离圆环,做斜上抛运动.

单项选择题
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