问题
解答题
已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．
答案
∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=
=42-32
，7
设点P（0，m）（0＜m＜
），7
∵直线AC的方程为
+x 3
=1，即y 7
x+3y-37
=0，7
∴点P（0，m）到直线
x+3y-37
=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=7
=|3m-3
|7 (
)2+327
|m-3 4
|=7
（3 4
-m），7
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•
（3 4
-m）≤7
•(3 4
)2=m+(
-m)7 2
•3 4
=7 4
（当且仅当m=21 16
时取“=”）．7 2
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为
．21 16
