问题
解答题
设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．
答案
设圆的圆心为P(a,b),半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为｜b｜、｜a｜，由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为
r=2b.
∴r2=2b2 ①
又由y轴截圆得弦长为2， ∴r2=a2+1 ②
由①、②知2b2－a2=1.又圆心到l:x－2y=0的距离d=
,
∴5d2=(a－2b)2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立，
∴当a=b时，d最小为
，由
得
或
由①得r=.
∴(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求．
同答案