令y=sin

θ

2

（1+cosθ），则y=sin

θ

2

（1+cosθ）=2cos2

θ

2

?sin

θ

2

，

∴y²=2cos2

θ

2

?cos2

θ

2

?（2sin2

θ

2

）≤2?(

cos2 θ 2 +cos2 θ 2 +2sin2 θ 2

3

)3=

16

27

，

∴|y|≤

4 3

9

．

故sin

θ

2

(1+cosθ)的最大值为

4 3

9

．