问题
解答题
| 集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的： ①函数f（x）的定义域是[0，+∞）； ②函数f（x）的值域是[-2，4）； ③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题： （1）判断函数f1(x)=
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． |
答案
（1）∵函数f1(x)=
-2(x≥0)的值域[-2，+∞）x
∴f1（x）∉A
对于f2（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．
而由x≥0知(
)x∈(0，1]，∴4-6(1 2
)x∈[-2，4)，满足条件②1 2
又∵0＜
＜1，1 2
∴u=(
)x在[0，+∞）上是减函数．1 2
∴f2（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③
∴f2（x）属于集合A．
（2）f2（x）属于集合A，原不等式4-6•(
)x+4-6•(1 2
)x+2＜2[4-6•(1 2
)(x+1)]对任意x≥0总成立1 2
证明：由（1）知，f2（x）属于集合A．
∴原不等式为4-6•(
)x+4-6•(1 2
)x+2＜2[4-6•(1 2
)(x+1)]1 2
整理为：-
•(3 2
)x＜0．1 2
∵对任意x≥0，(
)x＞0，1 2
∴原不等式对任意x≥0总成立