问题
解答题
已知f(x)=
（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并说明理由； （3）若a=
数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）f（x）、g（x）的定义域均为（0，+∞）；…（2分）
f(x)•g(x)=(
+x
)2-( x+1 x
+1 )=1．…（4分）1 x
（2）∵
+x
≥2，∴( 1 x
+x
)2≥4⇒x+1 x
≥2．…（7分）1 x
易知函数y=
+x
与y=1 x
在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，x+
+11 x
∴f(x)min=f(1)=2+
．…（10分）3
（3）∵a=
＜x+1=c，…（11分）x2+x+1
∴若能构成三角形，只需
⇒
+tx2+x+1
＞x+1x
+(x+1)＞tx2+x+1 x
恒成立．…（13分）t＞
+x
-1 x x+
+11 x t＜
+x
+1 x x+
+11 x
由（1）知，f(x)•g(x)=1⇒g(x)=
，1 f(x)
∵f(x)≥2+
，∴g(x)=3
≤2-1 f(x)
，即t＞2-3
．…（15分）3
由（2）知，f(x)≥2+
，∴t＜2+3
．…（17分）3
综上，存在t∈( 2-
， 2+3
)，满足题设条件．…（18分）3