问题
解答题
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若f(x)=sin
（1）判断函数y=sinkx，（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，请说明理由． （2）记G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(
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答案
（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx=msin
+ncosx恒成立，x 2
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(
)=1，π 3
则存在正实数m，n使得G（x）=msin
+ncosx恒成立，x 2
且msin
+ncosπ 6
=1，即：m+n=2，π 3
故G（x）=(2-n)sin
+ncosx=(2-n)sinx 2
+n(1-2sin 2x 2
)x 2
=(2-n)sin
-2nsin 2x 2
+nx 2
令sin
=t，则G（x）=-2nt2+（2-n）t+n，x 2
根据其G（x）的最大值为
，9 8
得到：n=1 或4 9
代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=
，n=14 9 4 9
故G（x）的解析式为：G（x）=sin
+cosx或G（x）=x 2
sin14 9
+x 2
cosx．4 9