设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小

问题解答题

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=

．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样的实数m，n；若不存在，则说明理由．

答案

（1）由题意，得：

a＞0

f(1)=a+b+c=1

f(0)=c=

（4分）

解之得：a=

，b=-1，c=

，（7分）

（2）∴f(x)=

x2-x+

(x-1)2+1（8分）

从而，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（10分）

由f（x）取得最小值1，得1≤m＜n，（11分）

所以，f（x）在区间[m，n]上单调增，（12分）

故

f(m)=m

f(n)=n

（13分）

即m，n是方程f（x）=x，即

x2-2x+

=0的两不小于1的不等实根，┉┉（15分）

∴m=1，n=3（16分）