问题
解答题
已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x1＞0，x2＞0，记f(t)=(
（1）求出k与t之间的关系； （2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围； （3）解不等式：f（t）≤4． |
答案
（1）由题意得
⇒0＜t≤k2-4t≥0 x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0
（4分）k2 4
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤
，k＞0}，f(t)=(k2 4
-x1)(1 x1
-x2)=t+1 x2
+2(1-k2) t
当函数f（t）在定义域上单调递增时，k≥1；
当函数f（t）在定义域上单调递减时，0＜k≤2
-25
∴当f（t）在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为(0，2
]∪[1，+∞)．（10分）
-25
（3）∵k2-4t≥0 x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0
∴f(t)=(
-x1)(1 x1
-x2)=t+1 x2
+2≤4(1-k2) t
∴t2-2t+1-k2=[t-（1-k）][t-（1+k）]≤0⇒1-k≤t≤1+k，
又0＜t≤
，k＞0，（12分）k2 4
①当0＜k＜-2+2
时，t∈∅；（13分）2
②当-2+2
≤k＜1时，1-k≤t≤2
（14分）k2 4
③当1≤k＜2+2
时，0＜t≤2
；（15分）k2 4
④当k≥2+2
时，0＜t≤1+k（16分）．2