问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点， （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x）+
（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax2-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax2-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-
，1 2
∴f（x）=-
x2+x（5分）1 2
（2）g（x）=f（x）+
+k x
x2=x+1 2
在（0，k x
]上是单调减函数，6 3
当k≤0时，g（x）=x+
在（0，+∞）上是单调增函数，k x
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+
在（0，k x
]上是单调减函数，k
∴
≤6 3
，k
∴k≥
（10分）2 3
（3）∵f（x）=-
x2+x=-1 2
（x-1）2+1 2
≤1 2
，1 2
∴kn≤
，1 2
∴n≤
≤1 2k
＜1，3 4
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴
，即f(m)=km f(n)=kn
，-
m2+m=km1 2 -
n2+n=kn1 2
方程-
x2+x=kx的两根为0，2-2k（12分）1 2
当2-2k＞0，即
≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）2 3
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）