问题 解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”,若函数f(x)有且仅有一个不动点,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+
k
x
+
1
2
x2在 (0,
6
3
]上是单调减函数,求实数k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
答案

(1)f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b为偶函数,

∴2a+b=0,∴b=-2a,

∴f(x)=ax2-2ax,(2分)

∵函数f(x)有且仅有一个不动点,

∴方程f(x)=x有且仅有一个解,

∴ax2-(2a+1)x=0有且仅有一个解,

∴2a+1=0,a=-

1
2

∴f(x)=-

1
2
x2+x(5分)

(2)g(x)=f(x)+

k
x
+
1
2
x2=x+
k
x
在(0,
6
3
]上是单调减函数,

当k≤0时,g(x)=x+

k
x
在(0,+∞)上是单调增函数,

∴不成立;(7分)

当k>0时,g(x)=x+

k
x
在(0,
k
]上是单调减函数,

6
3
k

∴k≥

2
3
(10分)

(3)∵f(x)=-

1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2

∴kn≤

1
2

∴n≤

1
2k
3
4
<1,

∴f(x)在区间[m,n]上是单调增函数(11分)

f(m)=km
f(n)=kn
,即
-
1
2
m2+m=km
-
1
2
n2+n=kn

方程-

1
2
x2+x=kx的两根为0,2-2k(12分)

当2-2k>0,即

2
3
≤k<1时,[m,n]=[0,2-2k](13分)

当2-2k<0,即k>1时,[m,n]=[2-2k,0](14分)

当2-2k=0,即k=1时,[m,n]不存在(16分)

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