已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”,若函数f(x)有且仅有一个不动点, (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=f(x)+
(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由. |
(1)f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b为偶函数,
∴2a+b=0,∴b=-2a,
∴f(x)=ax2-2ax,(2分)
∵函数f(x)有且仅有一个不动点,
∴方程f(x)=x有且仅有一个解,
∴ax2-(2a+1)x=0有且仅有一个解,
∴2a+1=0,a=-
,1 2
∴f(x)=-
x2+x(5分)1 2
(2)g(x)=f(x)+
+k x
x2=x+1 2
在(0,k x
]上是单调减函数,6 3
当k≤0时,g(x)=x+
在(0,+∞)上是单调增函数,k x
∴不成立;(7分)
当k>0时,g(x)=x+
在(0,k x
]上是单调减函数,k
∴
≤6 3
,k
∴k≥
(10分)2 3
(3)∵f(x)=-
x2+x=-1 2
(x-1)2+1 2
≤1 2
,1 2
∴kn≤
,1 2
∴n≤
≤1 2k
<1,3 4
∴f(x)在区间[m,n]上是单调增函数(11分)
∴
,即f(m)=km f(n)=kn
,-
m2+m=km1 2 -
n2+n=kn1 2
方程-
x2+x=kx的两根为0,2-2k(12分)1 2
当2-2k>0,即
≤k<1时,[m,n]=[0,2-2k](13分)2 3
当2-2k<0,即k>1时,[m,n]=[2-2k,0](14分)
当2-2k=0,即k=1时,[m,n]不存在(16分)