问题
解答题
（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
答案
(1) S＝
|OA||y|＝
.(2)见解析。
(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A
,渐近线方程：y＝±
x,然后可设出过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝
，即y＝x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.
(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b2＝2.
由
得x2－2bx－b2－1＝0（*）
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，然后证
·
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)=2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明·＝0即可.
(1)双曲线C1：
－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.
解方程组
得
所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以
·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.