问题
解答题
设f(x)的定义域为D,若f(x)满足下面两个条件,则称f(x)为闭函数,[a,b]为函数f(x)的闭区间.①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]. (1)写出f(x)=x3的一个闭区间; (2)若f(x)=
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答案
(1)[0,1],[-1,1],[-1,0](不必加以说明写出即可)----(4分)
(2)∵f(x)=
x3-k1 3
∴f′(x)=x2,
∵f′(x)≥0恒成立
故f(x)=
x3-k在定义域R上为增函数----(5分)1 3
若f(x)=
x3-k为闭函数1 3
则f(x)=
x3-k=x 有至少两个不同的解----(6分)1 3
即k=
x3-x有至少两个不同的解1 3
令g(x)=
x3-x1 3
则g′(x)=x2-1
令g′(x)=0,则x=±1
∵g(-1)=
,g(1)=-2 3 2 3
即函数g(x)=
x3-x的极大值为1 3
,极小值为-2 3 2 3
故k∈[-
,2 3
]------------(10分)2 3