问题
解答题
| 设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]． （1）写出f（x）=x3的一个闭区间； （2）若f（x）=
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答案
（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以说明写出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=
x3-k1 3
∴f′（x）=x2，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=
x3-k在定义域R上为增函数----（5分）1 3
若f（x）=
x3-k为闭函数1 3
则f（x）=
x3-k=x 有至少两个不同的解----（6分）1 3
即k=
x3-x有至少两个不同的解1 3
令g（x）=
x3-x1 3
则g′（x）=x2-1
令g′（x）=0，则x=±1
∵g（-1）=
，g（1）=-2 3 2 3
即函数g（x）=
x3-x的极大值为1 3
，极小值为-2 3 2 3
故k∈[-
，2 3
]------------（10分）2 3