问题 解答题
设f(x)的定义域为D,若f(x)满足下面两个条件,则称f(x)为闭函数,[a,b]为函数f(x)的闭区间.①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].
(1)写出f(x)=x3的一个闭区间;
(2)若f(x)=
1
3
x3-k为闭函数求k取值范围?
答案

(1)[0,1],[-1,1],[-1,0](不必加以说明写出即可)----(4分)

(2)∵f(x)=

1
3
x3-k

∴f′(x)=x2

∵f′(x)≥0恒成立

故f(x)=

1
3
x3-k在定义域R上为增函数----(5分)

若f(x)=

1
3
x3-k为闭函数

则f(x)=

1
3
x3-k=x 有至少两个不同的解----(6分)

即k=

1
3
x3-x有至少两个不同的解

令g(x)=

1
3
x3-x

则g′(x)=x2-1

令g′(x)=0,则x=±1

∵g(-1)=

2
3
,g(1)=-
2
3

即函数g(x)=

1
3
x3-x的极大值为
2
3
,极小值为-
2
3

故k∈[-

2
3
2
3
]------------(10分)

综合
单项选择题