问题
解答题
已知函数f（x）=lg（x+
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域； （2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围； （3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围． |
答案
（1）由 x+
-2＞0得，a x
＞0，x2-2x+a x
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即 x+
-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立a x
∴a＞3x-x2，而 h(x)=3x-x2=-(x-
)2+3 2
在x∈[2，+∞）上是减函数，9 4
∴h（x）max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函数 f(x)=loga(x+
-2)，（a＞0）的值域为R，其真数在实数集上不恒为正，a x
即 x+
-2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+a x
≤2，又a＞0a x
故可求 x+
的最小值，令其小于等于2a x
∵x+
≥2a x a
∴2
≤2，解得a≤1，a
故实数a的取值范围是（0，1]．