问题
解答题
已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．
(1)若l1与圆相切，求l1的方程；
(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．
答案
（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6
(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即
＝2，解得k＝
.
∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由
得N
.又直线CM与l1垂直，
由
得M
.
∴AM·AN＝
·
＝
＝6为定值．
故AM·AN是定值，且为6.
(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由得N.再由
得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.
∴x1＋x2＝
，得M.
以下同解法1.
(解法3)用几何法
连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－
，
∴CB⊥l2.如图所示，△AMC∽△ABN，则
，
可得AM·AN＝AC·AB＝2
·
＝6，是定值
