（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+p+3的对称轴是x=8，

∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，

则函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．

即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．

（2）假设存在常数q（q≥0）满足题意，分三种情况求

①当

q＜8 8-q≥10-8 q≥0

时，即0≤q≤6时，

当x=8时，取到最小值f（8）；当x=q时，取到最大值f（q），

∴f（x）的值域为：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．

∴区间长度为q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．

∴q²-15q+52=0，∴q=

15± 17

2

，经检验q=

15+ 17

2

不合题意，舍去，故q=

15- 17

2

．

②当

q＜8 8-q＜10-8 q≥0

时，即6≤q＜8时，

当x=8时，取到最小值f（8）；当x=10时，取到最大值f（10），

∴f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]

∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．经检验q=8不合题意，舍去．

③当q≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，

∴f（x）的值域为：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．

∴区间长度为p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，

∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．经检验q=8或q=9满足题意．

综上知，存在常数q=8或q=9，q=

15- 17

2

当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．