证明：（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称

∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

3x+1

=-f（x）

∴函数f（x）为奇函数；

（2）函数f（x）在R上单调递增，理由如下：

在R中任取x₁＜x₂，

则3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0

∴f（x₁）＜f（x₂）

∴函数f（x）在R上单调递增

（3）∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

∵3^x＞0，

∴3^x+1＞1，

∴0＜

2

3x+1

＜2

∴-2＜-

2

3x+1

＜0

∴-1＜1-

2

3x+1

＜1

故f（x）的值域为（-1，1）