问题 解答题
已知
m
=(asinx,cosx),
n
=(sinx,bsinx)
,其中a,b,x∈R.若f(x)=
m
n
满足f(
π
6
)=2,且f(x)的图象关于直线x=
π
3
对称.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,
π
2
]上总有实数解,求实数k的取值范围.
答案

(Ⅰ)f(x)=

m
n
=asin2x+bsinxcosx=
a
2
(1-cos2x)+
b
2
sin2x

f(

π
6
)=2得,a+
3
b=8

∵f(x)的图象关于x=

π
3
对称,∴f(0)=f(
2
3
π)
b=
3
a

由①、②得,a=2,b=2

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1-cos2x+

3
sin2x=2sin(2x-
π
6
)+1

x∈[0,

π
2
],-
π
6
≤2x-
π
6
6

-1≤2sin(2x-

π
6
)≤2,f(x)∈[0,3].

又∵f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,

∴-3≤log2k≤0,解得

1
8
≤k≤1,即k∈[
1
8
,1]

单项选择题
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