问题
解答题
设f(x)=
（1）当a=-1，b=4时，求函数f（ex）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域； （2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同． |
答案
（14分）（1）f(ex)=
，-e2x+4ex
由-e2x+4ex≥0解得0＜ex≤4，∴x≤ln4，
所以函数f（ex）的定义域是（-∞，ln4]．…（2分）
设ex=t＞0，则f(ex)=
，-t2+4t
记g（t）=-t2+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（ex）∈[0，2]，即f（ex）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，则对于每个正数b，f(x)=
的定义域和值域都是[0，+∞）bx
故a=0满足条件； …（6分）
②若a＞0，则对于正数b，f(x)=
的定义域为D={x|ax2+bx≥0}=(-∞，-ax2+bx
]∪[0，+∞)，b a
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合条件； …（9分）
③若a＜0，则对正数b，f(x)=
的定义域D=[0，-ax2+bx
]b a
由于此时(f(x))max=f(-
)=b 2a
，故f（x）的值域为[0，b 2 -a
]b 2 -a
则-
=b a
⇔b 2 -a
⇔a=-4a＜0 2
=-a-a
综上所述：a的值为0或-4…（14分）