问题 解答题
已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率
2
2
,直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求弦AB的长度.
答案

(本小题满分13分)

(1)依题意可设椭圆C的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)…(1分)

c=2
e=
c
a
=
2
2
,解得
a=2
2
c=2
…(3分)

∴b2=a2-c2=8-4=4…(5分)

∴椭圆C的方程为

x2
8
+
y2
4
=1…(6分)

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)…(7分)

联立方程

x2
8
+
y2
4
=1
y=x-1
,消去y,并整理得:3x2-4x-6=0…(9分)

x1+x2=
4
3
x1x2=-2
…(10分)

∴|AB|=
1+12
|x2-x1|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
 =
2[(
4
3
)
2
-4×(-2)]
=
4
11
3
…(12分)

|AB|=

4
11
3
…(13分)

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