如图所示,半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内,两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质量为m的重物.忽略小圆环的大小.
(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图).在两个小圆环间绳子的中点C处,挂上一个质量M=
m的重物,使两个小圆环间的绳子水平,然后无初速释放重物M.设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略,求重物M下降的最大距离.2
(2)若不挂重物M,小圆环可以在大圆环上自由移动,且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略,问两个小圆环分别在哪些位置时,系统可处于平衡状态?

(1)重物向下先做加速运动,后做减速运动,当重物速度为零时,下降的距离最大.
设下降的最大距离为h,由机械能守恒定律得
Mgh=2mg[
-Rsinθ]h2+(Rsinθ)2
解得 h=
R(另解h=0舍去).2
所以重物M下降的最大距离为
R.2
(2)系统处于平衡状态时,两小环的可能位置为:
a.两小环同时位于大圆环的底端.
b.两小环同时位于大圆环的顶端.
c.两小环一个位于大圆环的顶端,另一个位于大圆环的底端.
d.除上述三种情况外,根据对称性可知,系统如能平衡,则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称.
设平衡时,两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示).
对于重物m,受绳子拉力T与重力mg作用,有T=mg对于小圆环,受到三个力的作用,水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等,方向相反Tsinα=Tsinα’得α=α’,而α+α’=90°,所以a=45°