在光滑绝缘的水平台面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平台面上放置两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+Q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失．设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力．
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）分别在甲、乙坐标系中，用实线作出A、B两球从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中的v-t图象．要求写出必要的演算推理过程．
（3）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中电场力共做了多少功？
（4）若要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面（v=0时刻除外），可以在水平面内加一与电场正交的磁场．请写出磁场B（t）与时间t的函数关系．（不考虑相对论效应）
（1）A球的加速度a=QE m
碰前A的速度vA1=
=2aL
，碰前B的速度vB1=0．2QEL m
A、B碰撞后交换速度，设碰后A、B球速度分别为vA1′、vB1′
vA1′=0 vB1′=vA1=2QEL m
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时刻分别为t1、t2、t3．
则 t1=
=vA1-0 a 2mL QE
第一次碰后，经t2-t1时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度分别为vA2和vB2
vB1′(t2-t1)=
a(t2-t1)2 得：t2=3t11 2
vA2=a（t2-t1）=2at1=2vA1=2
vB2=vB1′=2QEL m 2QEL m
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为vA2′和vB2′，经t3-t2时间A、B两球发生第三次碰撞，并设碰前瞬间A、B两球速度分别为vA3和vB3
则 vA2′=vB2=
vB2′=vA2=22QEL m 2QEL m
当vB2′（t3-t2）=vA2′（t3-t2）+
a(t3-t2)2 发生第三次碰撞，易得t3-t2=t2-t1 1 2
vA3=vA2′+a(t3-t2)=3
vB3=vB2′=22QEL m 2QEL m
（3）由（2）问中所求的物理量，得
W电=(
mvA32+1 2
mvB32)-0=13QEL．1 2
（4）对A球由平衡条件得 BQvA=mg B=
且a=mg QvA
． 解得QE m
从A开始运动到发生第一次碰撞 B(i)=
=mg Qat
0＜t≤m2g Q2Et 2mL QE
从第一次碰撞到发生第二次碰撞B(i)=m2g Q2E(t-
)2mL QE
从第二次碰撞到发生第三次碰撞B(i)=
3m2g Q2E(t-2
)2mL QE
≤t≤52mL QE 2mL QE
从第三次碰撞到发生第四次碰撞B(i)=
5m2g Q2E(t-3
)2mL QE
≤t≤72mL QE 2mL QE
以此类推，从第n次碰撞到发生第n+1次碰撞
B(i)=m2g Q2E(t-n
)2mL QE
(2n-1)
≤t≤(2n+1)2mL QE
（n=1，2，3，4…..）2mL QE
答：（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为0，
．2QEL m
（2）如图所示．
（3）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中电场力共做了13QEL．的功．
（4）磁场B（t）与时间t的函数关系B(i)=
，(2n-1)m2g Q2E(t-n
)2mL QE
≤t≤(2n+1)2mL QE
（n=1，2，3，4…..）．2mL QE