如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
（1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率Pm的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t1电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
（3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t2棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为
v，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．1 5
（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，外力应沿斜面向上，设其大小为F1，则
F1-mgsinθ-B1Il=0
由图（b）可知，磁感应强度B的大小与t关系为B1=2t
回路中产生的感应电动势 E=
=△ϕ △t
，S=l•d，△B•S △t
此时回路中的感应电流 I=E R+r
得 F1=mgsinθ+B1
l=mgsinθ+42•l•d R+r
tl2d R+r
（2）由图（c）可知，金属棒运动的最大速度为v0，此时金属棒所受合力为零．
设金属棒此时所受拉力大小为F2，流过棒中的电流为Im，则 F2-mgsinθ-B′Iml=0
Em=B´lv0
Pm=F2•vm
得
-mgsinθ-B′Pm v0
l=0B′lv0 R+r
解得 B′=1 l (
-Pm v 20
)(R+r)mgsinθ v0
（3）设磁感应强度为B，棒沿斜面向上运动时，mgsinθ+BIl=ma得
a=gsinθ+B2l2vt m(R+r)
取极短时间△t，速度微小变化为△v，△v=a△t，△s=v△t
得 △v=gsinθ△t+B2l2v△t m(R+r)
在上升的全过程中，∑△v=gsinθ∑△t+B2l2∑△s m(R+r)
即0-v=-[t2gsinθ+
]B2l2s m(R+r)
又下滑到匀速时有 mgsinθ-
=0B2l2v 5(R+r)
由上两式得s=
-v2 5gsinθ vt2 5
上升的高度H=s•sinθ=v2-vgt2sinθ 5g
答：
（1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系是F1=mgsinθ+4
t；l2d R+r
（2）磁感应强度B′的大小为1 l
；(
-Pm v 20
)(R+r)mgsinθ v0
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是
．v2-vgt2sinθ 5g