问题
解答题
已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离
（1）求点M的轨迹方程
（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|
（3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x1，y1），D（x2，y2），O为坐标原点．证明：OC⊥OD．
答案
（1）点M到点F的距离是|MF|=
，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|x2+(y-1)2
根据题意，得x2+（y-1）2=（y+1）2
x2+y2-2y+1=y2+2y+1
即y=x2 4
∴点M的轨迹方程是y=
；x2 4
（2）∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为3 3
∵F（0，1），∴直线m的方程为：y=
x+13 3
与抛物线方程联立y= x2 4 y=
x+13 3
消去y可得，
-x2 4
x-1=03 3
∴x1=2
或x2=-3 2 3 3
∴y1=3或y2=1 3
∴A(2
，3)，B(-3
，2 3 3
)1 3
∴|AB|=
=(2
+3
)2+(3-2 3 3
)21 3 16 3
（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程，得
=kx+4x2 4
即x2-4kx-16=0
∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x1，y1），D（x2，y2），
∴x1+x2=4k，x1x2=-16
∵OC 的斜率是
，OD的斜率是y1 x1 y2 x2
∴
×y1 x1
=y2 x2
= 1 4
×x 21 1 4 x 22 x1x2
=-1x1x2 16
∴OC⊥OD