已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．（1）当点A

问题解答题

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．
（1）当点A，P满足

=-2

，求动点P的轨迹方程；
（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R⁺，点A到M的距离记为d，求d的最小值．

答案

（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x_A，y_A），则

=（x-x_A，y-y_A），

因为F的坐标为（1，0），所以

=（x_A-1，y_A），

因为

=-2

，所以（x-，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．

所以x-x_A=-2（x_A-1），y-y_A=-2y_A，

所以x_A=2-x，y_A=-y

代入y²=4x，得到动点P的轨迹方程为y²=8-4x；

（2）由题意，d=

(m-xA)2+yA2

(m-xA)2+4xA

(xA+2-m)2-4-4m

∴m-2≤0，即0＜m≤2，x_A=0时，d_min=m；

m-2＞0，即m＞2，x_A=m-2时，d_min=-4-4m．