∵2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，

∴b＞a，b＞c；

∴b为△ABC中的最大边；

又

AB

•

BC

＜0，

∴cos（π-B）＜0，即cosB＞0，

∴0＜B＜

π

2

，又b为△ABC中的最大边，

∴

π

3

＜B＜

π

2

，①

∵b²+c²=a²+

3

bc，及a²=b²+c²-2bccosA，

∴cosA=

3

2

，

∴A=

π

6

．

∴B+C=π-

π

6

=

5π

6

．

∴cosB+sinC

=cosB+sin（

5π

6

-B）

=cosB+sin

5π

6

cosB-cos

5π

6

sinB

=

3

2

cosB+

3

2

sinB

=

3

sin（B+

π

3

），

∵

π

3

＜B＜

π

2

，

∴

2π

3

＜B+

π

3

＜

5π

6

，

∴

1

2

＜sin（B+

π

3

）＜

3

2

．

∴

3

2

＜

3

sin（B+

π

3

）＜

3

2

．

∴cosB+sinC的取值范围为（

3

2

，

3

2

）．

故答案为：（

3

2

，

3

2

）．