问题 解答题
已知椭圆c:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点A(0,b),△AF1F2是正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.
答案

(1)由题意,得

a=2c
a+a+2c=6
a2=b2+c2
,解之得a=2,b=
3
,c=1

故椭圆C的方程为

x2
4
+
y2
3
=1,离心率e=
1
2

(2)∵△AF1F2是正三角形,可得直线AF1的斜率为k=tan

π
3
=
3

∴直线AF1的方程为y=

3
(x+1)

设点O关于直线AF1的对称点为M(m,n),则

n
m
3
=-1
n
2
=
3
(
m
2
+1)

解之得m=-

3
2
,n=
3
2
,可得M坐标为(-
3
2
3
2
),

∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|>|MF2|

∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=

(-
3
2
-1)2+(
3
2
-0)2
=
7

直线MF2的方程为y=

3
2
-0
-
3
2
-1
(x-1),即y=-
3
5
(x-1)

y=-
3
5
(x-1)
y=
3
(x+1)
解得
x=-
2
3
y=
3
3
,所以此时点P的坐标为(-
2
3
3
3
).

综上所述,可得求|PF2|+|PO|的最小值为

7
,此时点P的坐标为(-
2
3
3
3
).

解答题
单项选择题