问题
解答题
已知椭圆c:
(1)求椭圆C的标准方程及离心率; (2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标. |
答案
(1)由题意,得
,解之得a=2,b=a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2
,c=13
故椭圆C的方程为
+x2 4
=1,离心率e=y2 3
;1 2
(2)∵△AF1F2是正三角形,可得直线AF1的斜率为k=tan
=π 3 3
∴直线AF1的方程为y=
(x+1)3
设点O关于直线AF1的对称点为M(m,n),则
,
•n m
=-13
=n 2
(3
+1)m 2
解之得m=-
,n=3 2
,可得M坐标为(-3 2
,3 2
),3 2
∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|>|MF2|
∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=
=(-
-1)2+(3 2
-0)23 2 7
直线MF2的方程为y=
(x-1),即y=-
-03 2 -
-13 2
(x-1)3 5
由
解得y=-
(x-1)3 5 y=
(x+1)3
,所以此时点P的坐标为(-x=- 2 3 y= 3 3
,2 3
).3 3
综上所述,可得求|PF2|+|PO|的最小值为
,此时点P的坐标为(-7
,2 3
).3 3