问题
解答题
已知经过点A（-2，0），且以（λ，1+λ）为方向向量的直线l1与经过点B（2，0），且以（1+λ，-3λ）为方向向量的直线l2相交于点P，其中λ∈R．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
（1）当λ≠0且λ≠-1时，直线l1：y=
(x+2)，直线l2：y=1+λ λ
(x-2)-3λ 1+λ
消参可得
+x2 4
=1①y2 12
当λ=0时，直线l1：x=-2，直线l2：y=0，其交点为（-2，0），适合①；
当λ=-1时，直线l1：y=0，直线l2：x=2，其交点为（2，0），适合①；
∴点P的轨迹C的方程为
+x2 4
=1；y2 12
（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足|BM|=|BN|．
令线段MN的中点M0（x0，y0），则BM0垂直平分MN
∵
+x12 4
=1，y12 12
+x22 4
=1，y22 12
∴两式相减可得，kMN=-
=k②3x0 y0
∵BM0⊥MN，∴kBM0=
=-y0 x0-2
③1 k
由②③可得x0=-1，y0=3 k
∴M0（-1，
）3 k
∵M0在椭圆C的内部，故
+1 4
＜19 12k2
∴|k|＞1
∵M0（-1，
）在直线l上，3 k
∴
=-k+m，3 k
∴|m|=|k+
|≥23 k
，当且仅当|k|=3
时取等号3
∴存在直线l满足条件，此时m的取值范围为（-∞，-2
）∪（23
，+∞）．3