问题
解答题
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f（x）的单调增区间．
答案
（1）解法一：∵f(x)=
+sin2x+1-cos2x 2
=2+sin2x+cos2x=2+3(1+cos2x) 2
sin(2x+2
)（4分）π 4
∴当2x+
=2kπ+π 4
，即x=kπ+π 2
(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+π 8
．2
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}． （8分）π 8
解法二：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+
sin(2x+2
)（4分）π 4
∴当2x+
=2kπ+π 4
，即x=kπ+π 2
(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+π 8
．2
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}（8分）π 8
（2）f(x)=2+
sin(2x+2
)π 4
由题意得2kπ-
≤2x+π 2
≤2kπ+π 4
(k∈Z)，即kπ-π 2
π≤x≤kπ+3 8
(k∈Z)．π 8
因此，f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+3π 8
](k∈Z)． （12分）π 8