问题
解答题
| 阅读并 ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1． ②方程2x2-x-2=0的根是x1=
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想； （2）利用你的猜想结论，解决下面的问题： 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值． |
答案
（1）猜想为：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
，x1x2=b a
．c a
理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
那么由求根公式可知，x1=
，x2=-b+ b2-4ac 2a
．-b- b2-4ac 2a
于是有x1+x2=
=--2b 2a
，x1•x2=b a
=b2-(b2-4ac) 4a2
，c a
综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
，x1x2=b a
．c a
（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两个实数根
∴x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2
∴[-（2k+1）]2-2×（k2-2）=11
整理得k2+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]2-4（k2-2 ）≥0，解得k≥-
，9 4
∴k=1．