（1）要使原函数有意义，则

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，

所以，函数f（x）的定义域D=（-1，1）

f（x）是定义域内的奇函数．

证明：对任意x∈D，有f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)

所以函数f（x）是奇函数．

另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0

所以函数f（x）是奇函数．

（2）由

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

知，函数g(x)=

1-x

1+x

在（-1，1）上单调递减，

因为0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函数  

又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）

且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），

故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）

由

1-a

1+a

=a得：a²+a=1-a，解得a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．

所以a=

2

-1，t=-1

（3）假设存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）

即loga

1-x1

1+x1

+loga

1-x2

1+x2

=loga

1-x3

1+x3

则loga(

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1-x3

1+x3

⇒

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

=

1-x3

1+x3

，

解得x3=

x1+x2

1+x1x2

，

下面证明x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，即证：(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．

证明：法一、

由(

x1+x2

1+x1x2

)2-1=

(x1+x2)2-(1+x1x2)2

(1+x1x2)2

=

x 21 + x 22 -1- x 21 x 22

(1+x1x2)2

=-

(1- x 21 )(1- x 22 )

(1+x1x2)2

．

∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，(1+x1x2)2＞0，

∴

(1-x12)(1-x22)

(1+x1x2)2

＞0，即(

x1+x2

1+x1x2

)2-1＜0，∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．

所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．

法二、

要证明(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1，即证(x1+x2)2＜(1+x1x2)2，也即(1-x12)(1-x22)＞0．

∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，∴(1-x12)(1-x22)＞0，

∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．

所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．