问题
解答题
已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式； （Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． |
答案
（Ⅰ）由题设，|w|=|
•. z0
|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，. z
于是由1+m2=4，且m＞0，得m=
，…（3分）3
因此由x′+y′i=
•. (1-
)3i
=x+. (x+yi)
+(3y
-y)i，3x
得关系式
…（5分）x′=x+ 3y y′=
-y3x
（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足
，…（7分）x′=(1+
)x+3 3 y′=(
-1)x-13x
消去x，得y′=(2-
)x′-23
+2，3
故点Q的轨迹方程为y=(2-
)x-23
+2…（10分）3
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+
y，3
x-y)仍在该直线上，3
∴
x-y=k(x+3
y)+b，3
即-(
k+1)y=(k-3
)x+b，3
当b≠0时，方程组
无解，-(
k+1)=13 k-
=k3
故这样的直线不存在． …（16分）
当b=0时，由
=-(
k+1)3 1
，k- 3 k
得
k2+2k-3
=0，3
解得k=
或k=-3 3
，3
故这样的直线存在，其方程为y=
x或y=-3 3
x，…（18分）3
[解法二]取直线上一点P(-
，0)，其经变换后的点Q(-b k
，-b k
)仍在该直线上，
b3 k
∴-
=k(-
b3 k
)+b，b k
得b=0，…（14分）
故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+
k，3
-k)仍在该直线上．3
∴
-k=k(1+3
k)，…（16分）3
即
k2+2k-3
=0，得k=3
或k=-3 3
，3
故这样的直线存在，其方程为y=
x或y=-3 3
x，…（18分）3
