已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=4，直线l：（m+2）x+（2m+1）y=

问题解答题

已知圆C：（x-2）²+（y-3）²=4，直线l：（m+2）x+（2m+1）y=7m+8，

（1）求证：直线l与圆C恒相交；

（2）当m=1时，过圆C上点（0，3）作圆的切线l₁交直线l于P点，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．

答案

（1）证明：由l得方程m（x+2y-7）+2x+y-8=0，

故l恒过两直线x+2y-7=0以及2x+y-8=0的交点P（3，2），

因为（3-2）²+（2-3）²=2＜4，即点P在圆的内部，

所以直线与圆相交．

（2）由题知过圆C上点（0，3）作圆的切线l₁：x=0，

m=1时，l：x+y=5

所以

x=0

x+y=5

⇒P（0，5），而|PC|=2

，

所以|PQ|∈[2

-2，2

+2]