已知点A（2，0），B（1，4），M、N是y轴上的动点，且满足MN=4，△AMN

问题填空题

已知点A（2，0），B（1，4），M、N是y轴上的动点，且满足MN=4，△AMN的外心P在y轴上的射影为Q，则PQ+PB的最小值为______．

答案

设点M（0，t），则N（0，t-4）

根据点P是△AMN的外心设P（x，t-2）

而PM²=PA²，则x²+4=（x-2）²+（t-2）²

∴x=

(t-2)2

，y=t-2，从而得到点P的轨迹为y²=4x，焦点为F（1，0）

由抛物线的定义可知PF=PQ+1

因为PF+PB≥BF=4

所以PF+PB=PQ+1+PB≥4

即PQ+PB≥3

故PQ+PB的最小值为3

故答案为：3