问题
解答题
设函数f(x)=
（1）写出定义域及f′（x）的解析式 （2）设a＞0，讨论函数y=f（x）的单调性； （3）若对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）∵x-1≠0∴f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)=
=(e-ax-ae-ax)(1-x)+(1+x)e-ax (1-x)2
e-ax（3分）ax2+2-a (1-x)2
（2）①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数（4分）
②当a＞2，由f′（x）＞0得ax2+2-a＞0，x＞
或x＜-a-2 a a-2 a
∴f(x)在(-∞，-
)，(a-2 a
，1)，(1，+∞)上为增函数，在(-a-2 a
，a-2 a
)上是减函数（7分）a-2 a
（2）①当0＜a≤2时，由（1）知，对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞f（0）=1（8分）
②当a＞2时，由（1）知，f（x）在(0，
)上是减函数，在(a-2 a
)上是增函数，
，1a-2 a
取x0=1 2
∈(0，1)，则f（x0）＜f（0）=1（10分）a-2 a
③当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有
＞1且e-ax≥1，得f(x)=1+x 1-x
e-ax＞1（11分）1+x 1-x
综上当且仅当a∈（-∞，2]时，若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1成立． （12分）
