问题 解答题
已知点(an,an-1)在曲线f(x)=
(    )
x
上,且a1=1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求证:
1
4
(n+1)
2
3
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤4(n+1)
2
3
-1
(n∈N*)
(3)求证:数列{an}前n项和Sn
(3n+2)
3n
2
-
3
2
(n≥1,n∈N*)
答案

(1)由f(x)=

x2+
1
x
知x满足:x2+
1
x
≥0,

x3+1
x
≥0,

(x+1)(x2-x+1)
x
≥0

x+1
x
≥0,

故x>0,或x≤-1.

f(x)定义域为:(-∞,-1]∪(0,+∞).

(2)证明:∵an+12=an2+

1
an
,则an+12-an2=
1
an

于是有:

1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=an+12-a12=an+12-1

要证明:

1
4
(n+1)
2
3
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤4(n+1)
2
3
-1

只需证明:

1
2
n
1
3
an≤2n
1
3
(*) 

下面使用数学归纳法证明:

1
2
n
1
3
an≤2n
1
3
(n≥1,n∈N*) 

  ①在n=1时,a1=1,

1
2
<a1<2,则n=1时 (*)式成立.

②假设n=k时,

1
2
k
1
3
ak≤2k
1
3
成立,

由 

a2k+1
=
a2k
+
1
ak
≤4k
1
3
+
1
1
2
k
1
3
=4k
2
3
+
2
k
1
3

要证明:4k

1
3
+
1
1
2
k
1
3
≤4(k+1)
2
3

只需2k+1≤

1
2
k
1
3
(k+1)
2
3
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2

只需1≤4k2+2k,而4k2+2k≥1在k≥1时,恒成立,

于是ak+12=

1
4
(k+1)
2
3
,于是ak+1≤ 2(k+1)
1
3

ak+12=ak2+

1
ak
1
4
k
2
3
+
1
2k
1
3

要证

1
4
k
2
3
+
1
2k
1
3
1
4
(k+1)
2
3

只需证:k+2≥k

1
3
(k+1)
2
3

只需证:4k2+11k+8>0,而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是:

a2k+1
1
4
(k+1)
2
3

因此 

1
2
(k+1)
1
3
a2k+1
≤2(k+1)
1
3
得证.

综合①②可知(*)式得证,从而原不等式成立.

(3)证明:要证明:Sn

(3n+2)
3n
2
-
3
2

由(2)可知只需证:

3n
(3n+2)
3n
4
-
[3(n-1)+2]
3n-1
4
(n≥2)(**)

下面用分析法证明:(**)式成立.

要使(**)成立,

只需证:(3n-2)

3n
>(3n-1)
3n-1

即只需证:(3n-2)3n>(3n-1)3(n-1),

只需证:2n>1.

而2n>1在n≥1时显然成立,

故(**)式得证.

于是由(**)式可知有:

32
+
33
+…+
3n
(3n+2)
3n
4
-
5
4

因此有:Sn=a1+a2+…+an≤1+2(

32
+
33
+…+
3n
)=
(3n+2)
3n
2
-
3
2

单项选择题
问答题