如图所示,一辆质量为M的小车静止在水平面上,车面上右端点有一可视为质点的滑块1,水平面上有与车右端相距为4R的固定的1/4光滑圆弧轨道,其圆周半径为R,圆周E处的切线是竖直的,车上表面与地面平行且与圆弧轨道的末端D等高,在圆弧轨道的最低点D处,有另一个可视为质点的滑块2,两滑块质量均为m,某人由静止开始推车,当车与圆弧轨道的竖直壁CD碰撞后人即撤去推力并离开小车,车碰后靠着竖直壁静止但不粘连,滑块1和滑块2则发生碰撞,碰后两滑块牢牢粘在一起不再分离。车与地面的摩擦不计,滑块1、2与车面的摩擦系数均为μ,重力加速度为g,滑块与车面的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。
(1)若人推车的力是水平方向且大小为F=μ(M+m)g/2,则在人推车的过程中,滑块1与车是否会发生相对运动?
(2)在(1)的条件下,滑块1与滑块2碰前瞬间,滑块1的速度多大?若车面的长度为R/4,小车质量M=km,则k的取值在什么范围内,两个滑块最终没有滑离车面?
解:(1)设滑块1与车不发生相对滑动,它们的加速度大小为a,由牛顿第二定律有
①
此时滑块受到的静摩擦力大小为 ②
而③
由①②③解得 ④
又滑块1与车面的最大静摩擦力为 ⑤
显然,说明滑块1与车面之间没有发生相对滑动
(2)设滑块1与滑块2碰撞前瞬间滑块1的速度为v,根据动能定理有⑥
联立③⑥求得⑦
设滑块1和2发生碰撞后的共同速度为v1,由动量守恒定律有 ⑧
联立⑦⑧求得 ⑨
两滑块粘合在一起后以v1的速度冲上光滑圆弧轨道,由于圆弧轨道的E处的切线是竖直的,则无论两滑块在圆弧轨道上运动,还是从E处竖直向上离开圆弧轨道,最后还是沿着圆弧轨道回到D处,整个过程中两滑块的机械能守恒,两滑块最终以速度v1冲上车面
设两滑块滑到车的左端时,若滑块刚好不滑出车面,滑块和车应有共同的速度设为v2,由系统的动量守恒有 ⑩
由系统的动能守恒有
联立⑨⑩解得
所以当时,两个滑块最终没有滑离小车