（1）设0＜x₁＜x₂，

f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(x2+2)(x1+2)

＞0，

∴f（x）在（0，+∞）单调递增．

（2）当x≥0时，f（x）=

x

x+2

＞0，

又，

∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；

当x＜0（x≠-2）时，f（x）=

-x

x+2

=y，

∴x=

-2y

y+1

，由x＜0，得

y＜-1或y＞0．

∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．

（3）当x=0时，f（x）=kx³，

∴x=0为方程的解．

当x＞0时，

x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=1，∴x2(x+2)=

1

k

，

当x＜0时，

-x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=-1，∴-x2(x+2)=

1

k

，

即看函数g（x）=

x2(x+2)，(x＞0) -x2(x+2)，(x＜0，x≠

-2)

与函数h（x）=

1

k

图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，

∴

1

k

＞-

32

27

，

∴k＜-

27

32

或k＞0．