函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）

问题解答题

函数f（x）=

ax+b

（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？
（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值．

答案

（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

ax+b

=x的解，

所以

ax+b

=1无解或有解为0，（3分）

若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，

若有解为0，则b=1，所以a=

．（6分）

（2）f（x）=

x+2

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，

取x=0，则f（0）+f（m-0）=4，即

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）

又m=-4时，f（x）+f（-4-x）=

x+2

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性）（10分）

所以存在常数m=-4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）

（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，设x+2=t，t≠0，（13分）

则|AP|²=（t+1）²+（

t-4

）²=t²+2t+2-

=（t²+

）+2（t-

）+2=（t-

）²+2（t-

）+10

=（ t-

+1）²+9，（16分）

所以当t-

+1=0时即t=

-1±

，也就是x=

-5±

时，

|AP|_min=3 （18分）