问题
解答题
已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．
（1）证明：P（a，b）在一条定直线上，并求出直线方程；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程．
答案
（1）由点Q为切点，可得PQ⊥OQ，
由勾股定理得：|PQ|2=|OP|2-|OQ|2，
又|PQ|=|PA|，
∴|PQ|2=|PA|2，即（a2+b2）-12=（a-2）2+（b-1）2，
化简得：2a+b-3=0，
则所求直线方程为2a+b-3=0；
（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，
|PQ|=
=a2+b2-1
=a2+(-2a+3)2-1
=5a2-12a+8
，5(a-
)2+6 5 4 5
故当a=
时，|PQ|min=6 5
，即线段PQ长的最小值为2 5 5
；2 5 5
（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，
而|OP|=
=a2+b2
=a2+(-2a+3)2
，5(a-
)2+6 5 9 5
故当a=
时，|OP|min=6 5
，此时b=-2a+3=3 5 5
，Rmin=3 5
-1，3 5 5
则半径取最小值时圆P的方程为（x-
）2+（y-6 5
）2=（3 5
-1）2．3 5 5