（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，

又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，

∴sinα=1-sinα⇒sinα=

1

2

∴f（

1

2

）=1-

1

2

=

1

2

（2）由（1）知：sinα=

1

2

，又α∈（0，

π

2

）

∴α=

π

6

∴g（x）=sin（

π

6

-2x），

∴g（x）的增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．

（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，f（a_n）=f（

1

2n

）（n∈N，n≥2）

∴f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，故f（a_n）=f（a₁）•q^n-1′=

1

2n

，猜测：f（x）=x．