（1）使f（x）有意义，则

x+b

x-b

＞0，

∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，

∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．

（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，

∵f（-x）=log_a

-x+b

-x-b

=log_a

x-b

x+b

=log_a(

x+b

x-b

)-1=-log_a

x+b

x-b

=-f（x）．

∴f（x）为奇函数．

（3）设u=

x+b

x-b

=

x-b+2b

x-b

=1+

2b

x-b

，

设x₁＞x₂，则u₁-u₂=1+

2b

x1-b

-(1+

2b

x2-b

)=

2b(x2-x1)

(x1-b)(x2-b)

，

当x₁＞x₂＞b时，

2b(x2-x1)

(x1-b)(x2-b)

＜0，即u₁＜u₂，

此时，u为减函数，同理-b＞x₁＞x₂时，u也为减函数．

∴当a＞1时，f（x）=log_a

x+b

x-b

在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．

当0＜a＜1时，

f（x）=log_a

x+b

x-b

在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．