|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，

当x在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1

所以|x-3|+|x-4|≥1

如果使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，

∴A={a|a＞1}；

不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），

当x＞0时，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；

当x＜0时，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，

∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），说明x＜0时x无解，得b≤-1，

综上：b＜-1；B={b|b≤-1}

∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；

∵f（x）=2^|x+1|-|x-1|，

当x＞1时，f（x）=2^x+1-x+1，f（x）为单调增函数，f（x）＞f（1）=4；

当x≤-1时，f（x）=2^-x-1+x-1，f′（x）=-

ln2

2x+1

+1＜0，f（x）为减函数，f（x）≥f（-1）=-1；

∴综上：当x＞1时，f（x）＞4；当x＜-1时，f（x）≥-1；