函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x

问题解答题

函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），

（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；

（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，求y=f（x）的表达式y=f_n（x）；

（3）若函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围．

答案

（1）∵f（x+1）=af（x），函数y=f（x），x∈R是周期函数

∴a=±1

当a=1时，f（x+1）=f（x），则T=1（3分）

当a=-1时，f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=f（x），则T=2（6分）

（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时

f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）（9分）

∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）（9分）

（3）∵f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），

∴-

|a|n≤fn(x)≤

|a|n（14分）

当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去

当a=1时f(x)∈[0，

]符合

当a=-1时f(x)∈[-

，

]符合

当0＜a＜1时f(x)∈[0，

]符合

当-1＜a＜0时f(x)∈[0，

]符合

∴a∈[-1，0）∪（0，1]（18分）