（1）因为

x+b

x-b

＞0，解之得x＜-b或x＞b，

∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）

（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间

f（-x）=log_a

-x+b

-x-b

=log_a

x-b

x+b

，

∵-f（x）=log_a（

x+b

x-b

）^-1=log_a

x-b

x+b

，

∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）

（3）证明：设b＜x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=log_a

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

，

∵

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

-1=

2b(x2-x1)

(x2+b)(x1-b)

＞0

∴当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为减函数；

当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为增函数．

同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．

综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）